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怎样证明根号二是无理数

发布日期:2023-06-06 04:12:45     浏览次数:8
核心提示:引言 在数学中,无理数是指不能表示为两个整数的比例的数。其中的无理数之一就是根号二。
引言

在数学中,无理数是指不能表示为两个整数的比例的数。其中的无理数之一就是根号二。本文将探讨如何证明根号二是无理数。

欧几里得算法

欧几里得算法是一种计算公因数的方法。假设a和b是两个整数,那么欧几里得算法可以将a和b表示为如下形式:
a=q1×b+r1
b=q2×r1+r2
r1=q3×r2+r3
...
其中q1、q2、q3……是整数,r1、r2、r3……是余数,且0≤ri 假设根号二是有理数

如果根号二是有理数,那么就可以表示为一个分数a/b,其中a和b是互质的整数。换句话说,a/b是一个带分数的形式,其中分子和分母不能再约分为整数。因为如果可以约分为整数,那么a和b就不是互质的。

证明根号二是无理数

将根号二表示为一个分数a/b后,可以得到如下公式【1】:
a^2=2b^2
这个公式被称为根号二的等式。首先可以发现,a必须是2的倍数。如果a是奇数,那么a的平方必定是奇数,而2b的平方必定是偶数,所以两者不可能相等。

然后可以将a表示为2c的形式,将等式改写为:
(2c)^2=2b^2
化简后得到:
c^2=2b^2/4
即:
c^2=b^2/2
上述等式表明,b的平方必须是2的倍数。因此,b也必须是2的倍数。但是,这意味着a和b都有因子2,与a和b互质的条件相矛盾。因此,我们得出结论:根号二是无理数【1】。

结论

通过欧几里得算法和假设根号二是有理数,我们证明了根号二是无理数。根号二是数学中一种有用而又奇妙的概念。它的性质在很多数学应用中都有重要的作用。

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